Cálculo Diferencial para Administración y Ciencias Sociales, 2da Edición – Galván, Cienfuegos, Elizondo, Fabela, Rodríguez y Romero

Cálculo Diferencial para Administración y Ciencias Sociales, 2da Edición – Galván, Cienfuegos, Elizondo, Fabela, Rodríguez y Romero

Un enfoque constructivista mediante la reflexión y la interacción.

Desde hace aproximadamente una década en todo el mundo se inició un cambio en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas: las tendencias actuales hablan de promover la participación activa del estudiante en su proceso de aprendizaje y hacer del profesor un facilitador de ese proceso. A pesar de los cambios, muchos de los alumnos de las áreas de administración y ciencias sociales, aún muestran gran apatía hacia los cursos de matemáticas; sin embargo, cuando descubren que son capaces de comprender y operar los objetos matemáticos, y al darse cuenta que realmente tienen una gran aplicación en la vida diaria, su apatía se convierte en gusto.

Uno de los principales propósitos de este libro es precisamente ayudar a ese cambio de actitud de los estudiantes hacia las matemáticas en beneficio de su aprendizaje; por otra parte, actualmente entre las características requeridas de un profesionista se encuentran el que sea autodidacta, que sea reflexivo, que cuente con una gran capacidad para analizar y resolver problemas, que sepa trabajar en equipo y que busque información, entre otras aptitudes. Como consecuencia, identificamos que en la actualidad se requieren estrategias didácticas que, además de proporcionar conocimiento matemático al alumno, promuevan el desarrollo de habilidades y actitudes que le den la formación integral necesaria para enfrentar cursos posteriores en su vida profesional.

A diferencia de cualquier otro libro de texto, éste se desarrolló para satisfacer esas necesidades actuales en la educación superior, ya que presenta una propuesta de aprendizaje mediante la cual los estudiantes, a través de una análisis reflexivo, participan activamente en la construcción de los principales conceptos del cálculo para lograr un aprendizaje significativo y perdurable, con un énfasis especial en el desarrollo y la interpretación de los resultados, lo que fomentará el desarrollo de habilidades y actitudes.

Contenido:

Introducción

Mensaje para los profesores

Mensaje para los estudiantes

1. Funciones, representación y análisis

1.1. Función

1.2. Función lineal

1.3. Función potencia

1.4. Función exponencial

1.5. Función exponencial con base e

1.6. Función inversa

1.7. Funciones logarítmicas

1.8. Operaciones con funciones

1.9. Efectos en la gráfica de una función al sumar, restar o multiplicar una constante

1.10. Función polinomial

1.11. Funciones racionales y asíntotas

2. La derivada

2.1. La derivada como razón de cambio

2.2. La derivada como una pendiente

2.3. Cómo derivar una función por medio de su gráfica

2.4. Derivada por fórmulas y sus propiedades

2.5. Cómo derivar funciones compuestas

2.6. Recta tangente y razón de cambio

2.7. Interpretación de la derivada en términos prácticos

3. Optimización de funciones

3.1. Cómo aplicar la derivada a problemas de optimización: máximos y mínimos de una función

3.2 Concavidad y puntos de inflexión

Respuestas

Anexo

DATOS TÉCNICOS:

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Compresión: .rar

Paginas: 305

Peso: 2.2 MB

Idioma: Español

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Cálculo Aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos – Tomo II

Cálculo Aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos – Tomo II

Esta obra contiene la segunda parte, de tres, de una propuesta sobre qué, cómo, y para qué enseñar/aprender Cálculo

La idea que permea en toda la propuesta es la de hacer emerger procedimientos, nociones, procesos y resultados del Cálculo, en atención al interés de resolver una problemática rica en contextos reales afines al interés de los estudiantes. Con esto logramos en ellos el aprecio del conocimiento matemático en su calidad de herramienta útil para resolver problemas (el para qué).

Cada tomo considera una problemática que en su tratamiento propicia el surgimiento de un quehacer matemático como la herramienta óptima para atenderla de manera precisa. De esta forma se construye el qué en atención a una respuesta efectiva al para qué.

Mientras que en el primer tomo la problemática se centra en predecir el valor de una magnitud que está cambiando, en el segundo la atención está puesta en calcular el valor de una magnitud asociada a un todo, dividiendo a éste en partes. El tratamiento al problema de predicción lleva a construir y significar nociones y procedimientos asociados a la razón de cambio y al cambio acumulado. Las nociones de derivada e integral junto con los procesos de derivación e integración emergen con el significado adecuado y preciso para la práctica de predecir.

Adentrarse en la práctica de calcular el todo vía el cálculo de sus partes, provoca el surgimiento de la noción de diferencial como el valor de una magnitud infinitamente pequeña, junto con la de suma o integral. Dividir el todo en partes infinitamente pequeñas, calcular las magnitudes correspondientes a esas partes y sumarlas se establece como un proceso medular que responde precisamente al requerimiento de la problemática que se aborda.

El procedimiento o idea de tomar un elemento diferencial para luego calcular la magnitud completa (la íntegra, la entera) integrando, surge de esta misma práctica. Esta idea, de hecho, es una estrategia frecuentemente utilizada en Ingeniería para explicar fórmulas o conceptos propios de ella. 

Cabe decir que la consideración para la enseñanza-aprendizaje de estas nociones y procedimientos, que constituyen poderosas herramientas para una comprensión profunda de los fenómenos que se estudian en la ingeniería, establece una distancia significativa entre esta propuesta y las tradicionales en cuanto éstas ni siquiera reconocen la existencia de tales herramientas matemáticas.

El hecho de hacer emerger nociones como la integral o resultados como el Teorema Fundamental del Cálculo con los significados pertinentes para atender la práctica de predecir, relativa al tomo I, y volver a verlas surgir en atención a la problemática de calcular el todo, del presente tomo II, habla de la didáctica, el cómo, de la propuesta: las nociones y resultados matemáticas no son presentados de una sola vez en una forma acabada, sino que van enriqueciéndose de significado conforme la situación problema lo amerite.

Se puede decir que la práctica de predecir favorece la construcción de un cálculo ligado a una visión Newtoniana, mientras que la práctica de calcular el todo a través de sus partes, se asocia a una visión Leibniziana. En tal sentido, esta propuesta contiene un esfuerzo por integrar didácticamente ambas visiones.

DATOS TÉCNICOS:

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Compresión: .rar

Paginas: 388

Peso: 7.51 MB

Idioma: Español

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Precálculo: Enfoque de resolución de problemas

Precálculo: Enfoque de resolución de problemas

Escribimos este trabajo pensando en que tú, como estudiante universitario, requieres, además del conocimiento, las habilidades que desarrollan una ciencia tan antigua y útil como las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un bagaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará, por supuesto, tu gusto por el trabajo y tu deseo, tal vez apenas incipiente, de aprender. Nos gustaría que intentes ser de las personas que responden bien a los desafíos y que, además de escuchar, te guste participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón, consideramos que, por un juicio preconcebido, no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu formación profesional.

El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de la disciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientemente elaborados, que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención es que desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantear estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto.

Por lo tanto, nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticas mediante la solución de situaciones reales o simuladas, cuyo fundamento es nuestra experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias, y en las investigaciones que hemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes, así como en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectuales de alto nivel.

En cada una de las secciones, encontrarás que el texto muestra situaciones que ofrecen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemas pertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por la humanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestiones que corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye, por lo tanto, el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender lo que aprende”.

La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo. Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a comprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral.

En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizan el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos: el primero es que los conceptos matemáticos se exploren utilizando tecnología, y el segundo, que la herramienta sirva para resolver problemas más complejos.

Contenido:

Unidad 1. Problemas de conteo (conjuntos)

1.1. El lenguaje de conjuntos

1.2. Problemas de conteo

Unidad 2. Expresiones algebraicas

2.1. Productos notables

2.2 Factorización

2.3. División de expresiones algebraicas

2.4. Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas

2.5. Suma y resta de fracciones algebraicas

2.6. Exponentes enteros

2.7. Exponentes fraccionarios y radicales

2.8. Números complejos

Unidad 3. Ecuaciones

3.1. Ecuaciones lineales

3.2. Sistemas de ecuaciones lineales

3.3. Ecuaciones cuadráticas y con radicales

3.4. Ecuaciones polinomiales

Unidad 4. Desigualdades

4.1. Desigualdades

4.2. Valor absoluto

Unidad 5. Trigonometría

5.1. Ángulos

5.2. Funciones trigonométricas

5.3. Funciones trigonométricas de ángulos especiales

5.4. Identidades fundamentales

Unidad 6. Geometría analítica

6.1. Recta

6.2. Circunferencia

6.3. Parábola

6.4. Elipse

6.5. Hipérbola

Unidad 7. Funciones

7.1. Conceptos básicos de funciones

7.2. Modelación

7.3. La función lineal

7.7. Funciones racionales

7.8. Funciones trigonométricas

DATOS TÉCNICOS:

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Compresión: .rar

Paginas: 668

Peso: 7.45

Idioma: Español

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Problemas de Cálculo Numérico para Ingenieros con Aplicaciones Matlab – Serie Schaum

Problemas de Cálculo Numérico para Ingenieros con Aplicaciones Matlab – Serie Schaum

El objetivo de este libro es servir como texto de apoyo en los cursos de Cálculo Numérico que con un peso específico de entre 6 y 9 créditos forman parte de todos los estudios de Ingeniería. En cada capítulo existe una introducción teórica que creemos suficiente (desde luego lo es para los problemas aquí referidos), pero damos además referencias para completarla. El libro nace a partir de la enseñanza de una asignatura de este tipo en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales de la Universidad Politécnica de Madrid.

La orientación de los problemas implica que con esta colección no se pretenda cubrir todos los aspectos del Calculo Numérico, pero sí se pretende que muestre de manera clara aquellos que puedan ser mas importantes para los ingenieros, y en este sentido la selección de contenidos no es inocente. 

Hemos dejado fuera cosas que están en la mayoría de los textos enciclopédicos de Calculo Numérico y que se han estudiado en este tipo de carreras, pero que creemos que ahora han perdido importancia, sustituidas por otras. Ello tiene que ver con que el estudiante dispone de medios de cálculo acorde con los tiempos, lo que le permite afrontar problemas de un modo que hasta hace poco era inviable. Así, parte de los mismos incorporan instrucciones Matlab, las cuales permiten resolver de modo eficiente y preciso la parte que tienen de calculo puro, y visualizar claramente los resultados. Además, esta forma de hacer Calculo Numérico hace innecesario el estudio de atajos para su aplicación a la resolución de problemas sencillos pero con cierta carga de cálculo, permitiendo al estudiante centrarse en la esencia de los métodos. De hecho, en la vida profesional, la realización de cálculos para el proyecto mediante aplicaciones complejas exige del usuario de estas aplicaciones un conocimiento de los conceptos básicos de discretizacion de problemas del continuo y de los errores que estas discretizaciones acarrean; este libro incide en estos conceptos.

Matlab es un programa de uso casi estándar en muchas ramas de la Ingeniería, y la tendencia es que su implantación será mayor en el futuro. Así, nos parece fundamental que el estudiante se encuentre cómodo con su utilización. No pretendemos llegar a los detalles de un usuario más avanzado del programa, pero sí que se intuya su potencia, y de hecho nuestra experiencia nos indica que es positivo permitir su utilización en los exámenes. 

Incorporamos como capítulo adicional un tutorial de Matlab que creemos que debe ser el capítulo inicial para aquellos estudiantes que no estén familiarizados con el mismo. Algunos de los problemas se completan con códigos con los que podemos aumentar la complejidad de los cálculos. Querer resolver con precisión suficiente un problema de Ingeniería exige iterar sobre cálculos elementales y eso lleva a la Programación de Ordenadores, que es una disciplina que permite extraer la utilidad real al Calculo Numérico. Los códigos a los que nos referimos en el texto pueden ser descargados directamente de la web http://canal.etsin.upm.es/libroftp/. Podría parecer interesante tener unas nociones de utilización de parte simbólica de Matlab (que en realidad es Maple) para algunas simplificaciones, pero creemos que es sobrecargar un curso cuya esencia está más en la programación.

Aunque los problemas están agrupados en los capítulos habituales de un curso de introducción al Cálculo Numérico, en realidad su orientación ingenieril hace que en ellos se mezclen técnicas procedentes de diferentes partes de la teoría. Esto los hace adecuados también como proyectos de programación para trabajo en equipo; el orientar parcialmente la asignatura en esa dirección nos parece muy provechoso. Como requisitos previos, al estudiante se le supone haber pasado ya por los cursos de Física, Análisis Matemático y Algebra Lineal y disponer de nociones básicas de algún lenguaje de programación. Respecto a la precisión con que realizamos los cálculos, nos gustaría decir que creemos que a este tema se le da una importancia demasiado grande en los cursos iniciales de Calculo Numérico. En Ingeniería, los errores proceden en la mayoría de los casos más de las simplificaciones realizadas en los modelos que de los redondeos en los cálculos. Para presentar los resultados intermedios hemos truncado sin redondeo en el cuarto decimal, salvo que el número resultante no tuviese suficientes cifras significativas. Aun con esta información, es muy probable que los resultados numéricos puedan diferir un poco, dependiendo de cómo se vayan arrastrando estos errores de redondeo a lo largo de los diferentes apartados.

Contenido:

Introducción

Notación y abreviaturas

1. Resolución de ecuaciones no lineales

2. Resolución de sistemas lineales

3. Interpolación lineal

4. Aproximación de funciones

5. Integración y diferenciación por métodos numéricos

6. Problemas de valor inicial en EDO’s: métodos numéricos

7. EDP’s: métodos de diferencias finitas

Apéndices

A. Tutorial de Matlab

B. Distintas aritméticas de uso habitual en calculo numérico

Bibliografía

Índice de materias

DATOS TÉCNICOS:

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Paginas: 425

Peso: 4.87 Mb

Idioma: Español

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Calculus Problems and Solutions – A. Ginzburg

Calculus Problems and Solutions – A. Ginzburg

This is the first of a series of problem books in analysis, analytic geometry, and higher algebra. The main purpose of this series is to provide the student with a rich collection of carefully selected material designed to increase his understanding and skill in handling problems in the above fields. To this end a large number of problems are presented and their solutions are given in full detail. To improve understanding, some prob­lems of more difficult character are included, the solution of which requires deeper insight in the topics treated.

More than 1200 problems are presented in this book. Some of these were taken from examination papers of the Technion, Israel Institute of Technology. 

Others were drawn from various sources and there seems to be no point in endeavoring to trace their origins.

The order of exposition adopted here seems quite natural; however, care has been taken so that the book may be used in a course in which the topics are arranged differently.

Every section begins with a brief explanation of the basic notions and theorems to be used. In general, the theorems are given without proof. The main part of every section is devoted to problems, a large number of which are immediately followed by solutions; others have solutions to be found only at the end of the book. It is believed that this will encour­age the reader to solve the problem by himself and only afterwards to look for the printed solution. The comparison of solutions will often be beneficial, as it will afford a check on the work and, occasionally, encounters with new methods.

Some problems, of course, have a variety of solutions and it may easily happen that the one given here is not the simplest possible. Remarks in this and other regards will be welcomed by the author.

My thanks are due to Dr. M. Edelstein, who read the manuscript and made many valuable suggestions, and to Dr. Emory P. Starke who super­vised the production of the book.

Contents:

I: SEQUENCES

1.1. Basic definitions and theorems

1.2. Examples and exercises on general notions

1.3. Representation of a number by sequences

1.4. Evaluation of N(e)

1.5. Sequences given in the form n«+i «

1.6. Methods for the evaluation of limits

II: FUNCTIONS OF A SINGLE VARIABLE

2.1. Definition and notation

2.2. The elementary functions

2.3. Domain of definition

2.4. Even and odd functions

2.5. Rational functions

2.6. Logarithmic functions

2.7. Trigonometric functions

2.8. Hyperbolic functions

2.9. Inverse functions

2.10. The inverse trigonometric functions

2.11. The inverse hyperbolic functions

2.12. Composite functions

2.13. Periodic functions

III: LIMIT OF A FUNCTION

3.1. Definitions and general exercises

3.2. Evaluation of limits

3.3. Continuity

IV: DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF A SINGLE VARIABLE

4.1. The notion of derivative and its physical and geometric interpretation

4.2. Evaluating derivatives

4.3. Evaluating derivatives of explicit functions

4.4. Differentiation of implicit functions

4.5. Parametric differentiation

4.6. Special eases in calculating derivatives

4.7. Higher derivatives

4.8. Calculation of t/

4.9. Graphical differentiation

4.10. Various examples

V: FUNDAMENTAL THEOREMS OF THE DIFFERENTIAL CALCULUS

5.1. The theorems of Rolle, Lagrange, and Cauchy

5.2. Taylor’s and Maclaurin’s formulas

5.3. Indeterminate forms: L’Hdpital’s rule

VI: APPLICATIONS OF DIFFERENTIAL CALCULUS

6.1. Rate of change

6.2. Locating intervals in which a function increases or decreases

6.3. Minima and maxima

6.4. Concavity: points of inflection

6.5. Asymptotes

6.6. Curve tracing

6.7. Graphs in polar coordinates

6.8. Parametric equations

6.9. Tangent and normal

6.10. The order of contact

6.11. Osculating circle, radius of curvature

6.12. Evolute and involute

6.13. Solution of equations by Newton’s approximation method

VII: THE DIFFERENTIAL

7.1. Definition of the differential

7.2. The invariance of the form of the differential

7.3. The differential as the principal part of the increment of the function: application to approximate calculations

7.4. Higher order differentials

VIII: THE INDEFINITE INTEGRAL

8.1. Definition and basic properties

8.2. Immediate integrals

8.3. The method of substitution

8.4. Integration by parts

8.5. Integrals of rational functions

8.6. Irrational integrals

8.7. Trigonometric integrals

8.8. Integrals of exponential and hyperbolic functions

8.9. Miscellaneous integrals

IX: THE DEFINITE INTEGRAL

9.1. Definition

9.2. Basic properties of the definite integral

9.3. Evaluation of the definite integral from its definition

9.4. Estimation of definite integrals

9.5. The mean value theorem of integral calculus

9.6. Integrals with variable limits

9.7. Evaluation of definite integrals

9.8. Changing the variable of integration

9.9. Approximate integration

9.10. Improper integrals

9.11. Miscellaneous problems

X: APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL

10.1. Computation of plane areas

10.2. Computation of arc length

10.3. Computation of volumes

10.4. Area of a surface of revolution

10.5. Moment of mass: centroids

10.6. Pappus’ theorems

10.7. Moment of inertia

10.8. Physics problems

XI: INFINITE SERIES

11.1. The general notion of a number series

11.2. Convergence of series with positive terms

11.3. Convergence of series with positive and negative terms

11.4. Arithmetic operations on series

11.5. Series of functions

11.6. Power series: radius of convergence

11.7. Taylor’s and Maclaurin’s scries: operations on power series

11.8. Applications of Taylor’s and Maclaurin’s expansions

XII: VARIOUS PROBLEMS PART TWO; SOLUTIONS, HINTS, ANSWERS INDEX

LIST OF GREEK LETTERS

DATOS TÉCNICOS:

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Paginas: 485

Peso: 27.7 Mb

Idioma: Inglés

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Cálculo 1: Diferencial – Álvaro Pinzón

Cálculo 1: Diferencial – Álvaro Pinzón

Tras un átenlo estudio de la teoría que abre cada capítulo, recuérdese que, corno proceso de asimilación más indicado, se ha de tratar de resolver por propia cuanta los más posibles de los problemas y comparar después tos resultados obtenidos con los que aparecen en ci libro; y en ocasiones será muy provechoso revisar previamente los «trucos» lógicos, por así llamarlos, que permiten muchas veces emprender la resolución de un problema de aquellos que constituyen el «dolor de cabeza» de todo principiante. En suma, la colección de problemas que aquí se presenta obedece a la clara convicción de que todo curso de matemática tiene por columna vertebral el estudio y solución de ejercicios y problemas.

El autor desea manifestar su agradecimiento al profesor Jesús María Castaño por la revisión crítica de la obra y por sus valiosos sugerencias, así como a los señores Francisco Gutierre;: y Wenceslao Ortega, de Marper &. ftow Latinoamericana, por la colaboración y estimulo que en todo momento le brindaron.

Contenido:

Prologo

Capítulo 1. Números reales.

Capítulo 2. Números naturales

Capítulo 3. Limite di una función

Capítulo 4. Continuidad y discontinuidad

Capítulo 5. La derivada

Capítulo 6. Diferenciales

Capítulo 7. Razones y velocidad

Capítulo 8. Funcione* creciente* y decrecientes. Preservación del orden

Capítulo 9. Teorema del valor medio para primeras derivadas

Capítulo 10. Teorema del valor medio para segundas derivadas

Capítulo 11. Trazado de grafos

Apéndice A. Algebra

Apéndice B. Cálculo

Apéndice C. Geometría

Apéndice D. Geometría analítica plana

Apéndice E. Geometría analítica del espacio

Apéndice F. Trigonometría

Lista de símbolos

Glosario de definiciones v teoremas

Bibliografía

Índice

DATOS TÉCNICOS:

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Paginas: 312

Peso: 18.8 MB

Idioma: Español

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Cálculo de Varias Variables, Volumen 2 – L. Marder

Cálculo de Varias Variables, Volumen 2 – L. Marder

Esta Serie tiene por objeto ofrecer a los lectores una buena selección de problemas resueltos sobre distintos temas de matemáticas. Los primeros volúmenes se prepararon especial­mente para satisfacer las necesidades de los alumnos que inician sus estudios profesionales en las carreras de matemáticas, ingeniería y ciencias, mientras que los últimos contienen algunos temas más difíciles. A fin de dejar el mayor espacio posible para los problemas, los textos explicativos y teóricos se redujeron a lo indispensable; también se cuidó de presentar en cada libro sólo los temas que pudieran cubrirse completamente.

Los libros se han escrito para usarlos como complemento de los cursos impartidos con textos convencionales. Son de gran utilidad para el estudiante, porque le ayudan a entender los problemas planteados en clase y adquirir práctica al resolver los problemas con respues­tas que se agregaron con este propósito.

Contenido:

CAPITULO 1. DERIVACION PARCIAL

1.1. Definiciones

1.2. Derivadas parciales

1.3. Funciones compuestas; la regla de la cadena

1.4. Diferenciales

CAPITULO 2. JACOBIANOS Y TRANSFORMACIONES

2.1. Funciones implícitas y jacobianos

2.2. Dependencia funcional

2.3. Propiedades de los jacobianos

2.4. Transformaciones

CAPITULO 3. EL TEOREMA DE TAYLOR Y SUS APLICACIONES

3.1. El teorema de Taylor en dos variables

3.2. Máximos y mínimos

3.3. Restricciones; multiplicadores indeterminados

3.4. Envolventes

CAPITULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

4.1. Integrales dobles y repetidas

4.2. Transformaciones de las integrales dobles

4.3. Integrales triples

4.4. Transformaciones de las integrales triples

CAPITULO 5. INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE

5.1. Integrales de línea

5.2. El teorema de Green en el plano

5.3. Integrales de superficie

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS INDICE

DATOS TÉCNICOS:

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Paginas: 132

Peso: 3.54 Mb

Idioma: Español

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